Cara Menghitung Barisan dan Deret Aritmatika

Sebelumnya kita sudah membahas bahwa bilangan-bilangan yang diurutkan dengan pola (aturan) tertentu membentuk suatu barisan bilangan. Barisan bilangan yang suku berikutnya didapat dari penambahan suku sebelumnya dengan bilangan yang tetap (tertentu) dinamakan barisan aritmetika. Bilangan yang tetap itu dinamakan beda (dilambangkan dengan huruf b).

Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai sesuatu yang menggunakan prinsip barisan aritmatika. Misalnya pada pemasangan meja di gedung DPR RI di Senayan seperti gambar berikut ini.

Pada gambar di atas tampak pada barisan ke-1 terdiri dari 4 buah meja, barisan ke-2 teridiri dari 5 buah meja, barisan ke-3 terdiri 6 buah meja dan begitu juga seterusnya. Sekarang, bisakah kamu menebak berapa ada meja pada barisan ke-7 dan jumlah semua meja tersebut dari barisan ke-1 sampai barisan ke-7? Untuk memjawab hal tersebut anda harus pahami terlebih dahulu konsep barisan dan deret aritmatika.

Sekarang coba perhatikan contoh barisan bilangan berikut ini.

a. 1, 3, 5, 7, 9, ..., Un,

b. 2, 4, 8, 16, 32, ..., Un.

Selisih dua suku berurutan pada barisan (a) selalu tetap, yaitu 2. Barisan bilangan yang demikian dinamakan barisan aritmetika. Adapun selisih dua suku berurutan pada barisan (b) tidak tetap. Barisan bilangan (b) bukan merupakan barisan aritmetika.

.

Pada barisan aritmetika, selisih dua suku berurutan dinamakan beda dan dilambangkan dengan b. Secara umum, barisan aritmetika didefinisikan sebagai berikut. Suatu barisan U1, U2, U3, ..., Un, Un + 1 dinamakan barisan aritmetika jika untuk setiap n bilangan asli memenuhi

Un + 1 – Un = Un – Un–1 = ... = U2 – U1 = b.

Suku ke-n barisan aritmetika dirumus kan sebagai berikut.

Un = a + (n – 1) b

Conto Soal 1

Tentukan suku ke-61 dari barisan bilangan 4, 8, 12, 16, . . Un

Penyelesaian:

a = 4 dan b = 4

sehingga Un = a + (n – 1)b

U61 = 4 + (61 – 1)4 = 4 + 120 = 124

Jadi, suku ke-61 dari barisan 4, 8, 12, 16, . . Un adalah 124.

Sekarang coba perhatikan kembali contoh barisan bilangan berikut ini.

1, 3, 5, 7, 9, ..., Un,

Jika dijumlahkan barisan tersebut, terbentuklah deret aritmetika sebagai

berikut.

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + Un

Jadi, deret aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan dari barisan aritmetika. Sekarang, bagaimana cara menjumlahkan deret aritmetika tersebut?

Untuk deret aritmetika yang memiliki suku-suku deret yang sedikit mungkin masih mudah untuk menghitungnya. Sebaliknya, jika suku-suku deret tersebut sangat banyak, tentu kamu akan memerlukan waktu yang cukup lama untuk menghitungnya. Rumus untuk menghitung jumlah suku-suku deret aritmetika adalah sebagai berikut.

Sn = (n/2)(a + Un)

Kita ketahui bahwa Un = a + (n – 1) b, rumus untuk jumlah dari deret aritmatika dapat ditulis sebagai berikut.

Sn = (n/2)(2a + (n – 1) b)

Contoh Soal 2

Diketahui deret aritmetika : 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + ... + U10. Tentukan:

a. suku kesepuluh (U10) deret tersebut,

b. jumlah sepuluh suku pertama (S10).

Jawab :

Diketahui : a = 6 dan b = 3

a. Un = a + (n – 1) b maka

U10 = 6 + (10 – 1) 3

U10 = 6 + 9 · 3

U10 = 6 + 27

U10 = 33

Jadi, suku kesepuluh deret tersebut adalah 33.

b. Sn = (n/2)(a + Un) maka

S10 = (10/2)(6 + U10)

S10 = (10/2)(6 + 33)

S10 = 195

Jadi, jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah 195

Sekarang, kamu akan mempelajari sifat-sifat deret arimetika. Suatu deret aritmetika memiliki sifat-sifat sebagai berikut.

(1) Jika diketahui deret aritmetika U1 + U2 + U3 + ... + Un maka

U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = ... = Un – Un – 1

(2) Jika U1, U2, dan U3 merupakan suku-suku deret aritmetika maka

2U2 = U1 + U3

(3) Jika Um dan Un adalah suku-suku deret aritmetika maka

Um = Un + (m – n)b

Contoh Soal 3

Tentukan nilai x jika suku-suku barisan x – 1, 2x – 8, 5 – x merupakan suku-suku deret geometri.

Jawab:

Diketahui :

U1 = x – 1

U2 = 2x – 8

U3 = 5 – x

2U2 = U1 + U3 maka

2 (2x – 8) = (x – 1) + (5 – x)

4x – 16 = x – 1 + 5 – x

4x – 16 = 4

4x = 20

x = 5

Jadi, nilai x sama dengan 5.

Contoh Soal

Dari suatu deret aritmetika diketahui bahwa suku keempatnya adalah 38 dan suku kesepuluhnya adalah 92. Tentukan:

a. beda deret aritmatika tersebut,

b. suku ketujuh deret aritmetika tersebut

Jawab:

a. Diketahui

U4 = 38

U10 = 92

Untuk mencari beda:

Um = Un + (m – n)b

92 = 38 + (10 – 4)b

92 – 38 = (10 – 4)b

54 = 6b

b = 54/6

b = 9

b. Diketahui:

U4 = 38

b = 9

Um = Un + (m – n)b maka

U7 = U4 + (7 – 4)b

U7 = 39 + (7 – 4)9

U7 = 39 + 27

U7 = 65

Demikian pembahasan mengenai cara pengerjakan barisan dan deret aritmatika. Semoga bermanfaat :D

Cara Cepat Menghitung Perbandingan Senilai

Silahkan anda baca dan perhatikan dengan baik langkah-langkah dalam mengerjakan soal perbandingan dengan cepat agar tidak bingung. Jika pada akhirnya Anda mengalami kebingungan juga, silahkan berkomentar. Berikut langkah-langkahnya:

1. carilah bilangan pengali yang diperoleh dariangka real yang sudah diketahui dibagi dengan angka perbandingan (bilangan pengali=angka real : angka perbandingan)
2. Buatlah tabel dengan empat kolom yang terdiri dari: yang dicari, angka perbandingan, bilangan pengali, dan angka real
3. masukan angka perbandingan yang akan dicari angka realnya di kolom angka perbandingan
4. kalikan bilangan pengali dengan angka perbandingan sehingga didapat angka real (angka real = angka perbandingan x bilangan pengali)

Contoh Soal 1

Perbandingan umur Edi dengan umur Ayah adalah 2 : 6. Jika umur Ayah 42 tahun maka:

a. Berapa umur Andi ?

b. Berapa jumlah umur mereka ?

c. Berapa selisih umur mereka ?

Jawab:

Dalam soal tersebut angka real yang sudah diketahui adalah umur ayah yaitu 49 tahun, sedangkan angka perbandingannya adalah 7, maka bilangan pengalinya adalah angka real : angka perbandingan = 49 : 7 = 7. Jika dibuatkan ke dalam tabel akan seperti ini:

Jadi:

a. Umur Edi = 14 tahun

b. Jumlah umur mereka = 56 tahun

c. Selisih umur mereka = 28 tahun

Contoh Soal 2

Pak Andi menjual buah mangga, jeruk, dan apel dengan perbandingan 3 : 5 : 9. Jika selisih buah apel dengan jeruk adalah 24 buah, maka

a. Berapa jumlah buah mangga ?

b. Berapa jumlah buah jeruk ?

c. Berapa jumlah buah apel ?

d. Berapa jumlah semua buah yang dijual ?

e. Berapa selisih buah apel dengan mangga ?

f. Berapa selisih buah jeruk dengan mangga ?

Jawab:

Bilangan pengali = 24 : 4 = 6

Jadi :

a. Jumlah buah mangga = 18 buah

b. Jumlah buah jeruk = 30 buah

c. Jumlah buah apel = 54 buah

d. Total semua buah = 102 buah

e. Selisih apel dengan mangga = 36 buah

f. Selisih jeruk dengan mangga = 12 buah

Contoh Soal 3

Pak Mono menanam berbagai macam sayuran di ladangnya. Ladang pak Tani luasnya 1.800 m². Jika lahan tersebut ditanami terong, sawi, kol, tomat dan cabe dengan perbandingan 2 : 4 : 5 : 6 : 7 , maka

a. Berapa m² lahan yang ditanami terong ?

b. Berapa m² lahan yang ditanami sawi ?

c. Berapa m² lahan yang ditanami kol ?

d. Berapa m² lahan yang ditanami tomat ?

e. Berapa m² lahan yang ditanami cabe ?

f. Berapa m² selisih lahan yang ditanami cabe dengan kol ?

g. Berapa m² selisih lahan yang ditanami tomat dengan terong ?

Jawab:

Angka real yang diketahui = 1.800 m²

Angka perbandingan yang diketahui =  2 + 4 + 5 + 6 + 7 = 24

Bilangan pengali = 1.800 : 24 = 75

Jadi:

a. lahan yang ditanami terong adalah 150 m²

b. lahan yang ditanami sawi adalah 300 m²

c. lahan yang ditanami kol adalah 375 m²

d. lahan yang ditanami tomat adalah 450 m²

e. lahan yang ditanami cabe adalah 525 m²

f. selisih lahan yang ditanami cabe dengan kol adalah 150 m²

g. selisih lahan yang ditanami tomat dengan terong adalah 300 m²

Demikianlah tips menghitung soal perbandingan dengan cepat. Semoga artikel ini memudahkan anda untuk mengerjakan soal-soal tentang perbandingan khususnya perbandingan senilai atau seharga. Semoga bermanfaat :)

Cara Cepat Mengerjakan Perbandingan Berbalik Nilai

Banyak orang bertanya di forum yang ada di facebook, bagaimana cara mengerjakan soal-soal perbandingan berbalik nilai. Nah pada kesempatan ini Saya akan membahas cara cepat menghitung perbandingan berbalik nilai. Ingat cara ini hanya berlaku untuk perbandingan berbalik nilai, dan tidak berlaku untuk perbandingan senilai. Cara ini sangat cocok digunakan pada saat menghadapi “perang akhir” di sekolah, karena membutuhkan kecepatan dalam menjawabnya.

Sekarang coba perhatikan contoh soal di bawah ini. Perhatikan baik-baik ya!

Contoh Soal 1

Proyek perbaikan jalan selesai selama 30 hari dengan pekerja sebanyak 15 orang. Setelah 6 hari pelaksanaan, proyek tersebut dihentikan selama 4 hari karena suatu hal. Jika kemampuan bekerja setiap orang sama dan agar proyek dapat selesai tepat waktu, pekerja tambahan yang diperlukan adalah ….

A. 1 orang

B. 3 orang

C. 6 orang

D. 9 orang

(UN 2009/2010 paket 10)

Penyelesaian:

Waktu	Pekerja
30	15
24	15
20	x

Untuk mencari nilai x, baris atas jika dikalikan akan sama dengan baris di bawahnya, maka:

24 . 15 = 20 . x

360 = 20x

x = 360/20

x = 18 orang

tambahan pekerja = 18 – 15 = 3 orang (Jawaban C)

Contoh Soal 2

Suatu pekerjaan akan selesai dikerjakan oleh 24 orang selama 20 hari. Agar pekerjaan tersebut dapat diselesaikan selama 15 hari, banyak tambahan pekerja yang diperlukan adalah ….

A. 6 orang

B. 8 orang

C. 18 orang

D. 32 orang

(UN 2010/2011 paket 15)

Penyelesaian:

24 orang => 20 hari

x orang => 15 hari

24 . 20 = x . 15

24 . 4 = x . 3

8 . 4 = x

x = 32 orang

tambahan pekerja = 32 – 24 = 8 orang (Jawaban B)

Contoh Soal 3

Suatu hari Tono, memperkirakan persediaan makanan untuk 60 ekor ayam akan habis dalam 12 hari. Bila hari itu ia membeli lagi 20 ekor ayam, maka persediaan makanan tersebut akan habis dalam waktu ….

A. 4 hari

B. 9 hari

C. 16 hari

D. 36 hari

(UN 2007/2008)

Penyelesaian:

60 ayam => 12 hari

80 ayam => x hari

60 . 12 = 80 . x

3 . 12 = 4 . x

3 . 3 = x

x = 9 hari  (Jawaban B)

Contoh Soal 4

Sebuah proyek dikerjakan oleh 8 orang selesai dalam waktu 15 hari. Supaya selesai dalam waktu 12 hari, pekerja yang perlu ditambah adalah ….

A. 2 orang

B. 3 orang

C. 4 orang

D. 10 orang

(UN 2008/2009)

Penyelesaian:

8 orang => 15 hari

x orang => 12 hari

8 . 15 = x . 12

2 . 15 = x . 3

2 . 5 = x

x = 10 orang

tambahan pekerja = 10 – 8 = 2 orang (Jawaban A)

Contoh Soal 5
Suatu pekerjaan dikerjakan oleh 12 orang dan direncanakan selesai dalam waktu 25 hari. oleh karena kehabisan bahan baku, pekerjaan terhenti saat memasuki hari ke 16 selama 2 hari. agar pekerjaan selesai pada waktunya maka jumlah pekerja yang harus di tambah adalah

a. 5 orang

b. 4 orang

c. 3 orang

d. 2 orang

Penyelesian:

Perhatikan soal tersebut (kena jebak kalau kurang jeli), dalam 25 hari dikerjakan oleh 12 orang. Karena terhenti pada saat memasuki hari ke-16, berati tepat berhenti pada hari ke-15 maka sisa waktunya masih 10 hari. Dalam 10 hari ini maunya dikerjakan oleh 12 orang. Tetapi terhenti selama 2 hari maka sisa waktu yang harus dikerjakan 8 hari dan harus ada tambahan pekerja. Jika dibuatkan tabel akan tampak seperti di bawah ini.

waktu	pekerja
25	12
10	12
8	x

Untuk mencari nilai x gunakan cara cepat, yakni:

10 . 12 = 8 . x

120 = 8x

x = 120/8

x = 15 orang

tambahan pekerja = 15 – 12 = 3 orang (Jawaban C)

Contoh Soal 6

Sebuah proyek dikerjakan oleh 6 pekerja dan direncanakan selesai selama 15 hari. Namun pada hari ke-9 sampai 13, proyek diliburkan. Agar proyek selesai tepat pada waktunya, maka tambahan pekerja yang harus ditambah adalah

a. 8 orang

b. 10 orang

c. 12 orang

d. 15 orang

Penyelesian:

(Baca soalnya dengan baik dan pahami maksudnya). Dalam 15 hari dikerjakan oleh 6 orang. Karena libur pada saat memasuki hari ke-9, berati proyek tersebut sudah dikerjakan selama 8 hari dan dikerjakan oleh 6 orang juga, maka sisa waktunya masih 7 hari. Dalam 7 hari ini maunya dikerjakan oleh 6 orang. Tetapi karena ada hari libur selama 5 hari (hari ke-9 sampai hari ke-13) maka sisa waktu yang harus dikerjakan 2 hari dan harus ada tambahan pekerja. Jika dibuatkan tabel akan tampak seperti di bawah ini.

Waktu	Pekerja
15	6
7	6
2	x

Untuk mencari nilai x gunakan cara cepat, yakni:

7 . 6 = 2 . x

42 = 2x

x = 42/2

x = 21 orang

tambahan pekerja = 21 – 6 = 15 orang (Jawaban D)

Demikian cara cepat menghitung perbandingan berbalik nilai. Terimakasi, semoga bermanfaat :D